Перемещение центра давления крыла и самолета. Центр давления и определение его координат Положение центра давления зависит от следующих параметров
Точка приложения результирующей силы давления жидкости на любую поверхность называется центром давления.
Применительно к рис. 2.12 центром давления является т. D. Определим координаты центра давления (x D ; z D) для любой плоской поверхности.
Из теоретической механики известно, что момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. За ось в нашем случае примем ось Ох (см. рис. 2.12), тогда
Известно также, что является моментом инерции площади относительно оси Ox
В результате получаем
Подставим в это выражение формулу (2.9) для F и геометрическое соотношение :
Перенесем ось момента инерции в центр тяжести площадки . Обозначим момент инерции относительно оси, параллельной оси Ох и проходящей через т.С, через . Моменты инерции относительно параллельных осей связаны соотношением
тогда и окончательно получим
Формула показывает, что центр давления расположен всегда ниже центра тяжести площадки, за исключением случая, если площадка горизонтальна и центр давления совпадает с центром тяжести. Для простых геометрических фигур моменты инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси Ох (рис. 2.12), определяются по следующим формулам:
для прямоугольника
Ох ;
для равнобедренного треугольника
где сторона основания параллельна Ох;
для круга
Координата для плоских поверхностей строительных конструкций чаще всего определяется по координате расположения оси симметрии геометрической фигуры, ограничивающей плоскую поверхность. Так как такие фигуры (круг, квадрат, прямоугольник, треугольник) имеют ось симметрии, параллельную координатной оси Oz, местоположение оси симметрии и определяет координату x D . Например, для прямоугольной плиты (рис. 2.13), определение координаты x D ясно из чертежа.
Рис. 2.13. Схема расположения центра давления для прямоугольной поверхности
Гидростатический парадокс. Рассмотрим силу давления жидкости на дно сосудов, изображенных на рис. 2.14.
Точка приложения суммарной силы давления называется центром давления. Определим координаты центра давления и (рис. 3.20). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей F относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.
Составим уравнение моментов сил F и dF относительно оси 0y.
Силы F и dF определим по формулам
Cокращая выражение на g и sin a, получим
где - момент инерции площади фигуры относительно оси 0y .
Заменив по известной из теоретической механики формуле, где J c - момент инерции площади фигуры относительно оси, параллельной 0y и проходящей через центр тяжести, получим
Из этой формулы следует, что центр давления всегда расположен ниже центра тяжести фигуры на расстоянии . Это расстояние называется эксцентриситетом и обозначается буквой e .
Координата y d находится из аналогичных соображений
где - центробежный момент инерции той же площади относительно осей y и l . Если фигура симметрична относительно оси, параллельной оси 0l (рис. 3.20), то, очевидно, , где y c - координата центра тяжести фигуры.
§ 3.16. Простые гидравлические машины.
Гидравлический пресс
Гидравлический пресс применяется для получения больших усилий, которые необходимы, например, для прессования или штамповки металлических изделий.
Принципиальная схема гидравлического пресса показана на рис. 3.21. Он состоит из 2-х цилиндров - большого и малого, соединенных между собой трубкой. В малом цилиндре имеется поршень диаметром d , который приводится в действие рычагом с плечами a и b . При движении малого поршня вниз он оказывает на жидкость давление p , которое по закону Паскаля передается поршню диаметром D , находящемуся в большом цилиндре.
При движении вверх поршень большого цилиндра прессует деталь с силой F 2 Определим силу F 2 , если известна сила F 1 и размеры пресса d , D , а также плечи рычага a и b . Определим сначала силу F , действующую на малый поршень диаметром d . Рассмотрим равновесие рычага пресса. Составим уравнение моментов относительно центра вращения рычага 0
где - реакция поршня на рычаг.
где - площадь сечения малого поршня.
По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Следовательно, давление жидкости под большим поршнем также будет равно p ж. Отсюда сила, действующая на большой поршень со стороны жидкости, будет
где - площадь сечения большого поршня.
Подставляя в последнюю формулу p ж и учитывая, что , получим
Для учета трения в манжетах пресса, уплотняющих зазоры, вводят коэффициент полезного действия пресса h<1. В итоге расчетная формула примет вид
Гидравлический аккумулятор
Гидравлический аккумулятор служит для накопления - аккумулирования энергии. Он применяется в тех случаях, когда необходимо произвести кратковременную большую работу, например, при открывании и закрывании ворот шлюзов, при работе гидравлического пресса, гидроподъемника и т. п.
Принципиальная схема гидравлического аккумулятора приведена на рис.3.22. Он состоит из цилиндра A , в котором помещен поршень B , соединенный с нагруженной рамой C , к которой подвешены грузы D .
При помощи насоса в цилиндр нагнетается жидкость до полного его заполнения, при этом грузы поднимаются и тем самым происходит накопление энергии. Чтобы поднять поршень на высоту H , необходимо закачать в цилиндр объем жидкости
где S - площадь сечения поршня.
Если величина грузов равна G , то давление поршня на жидкость определится отношением силы веса G на площадь сечения поршня, т.е
Выражая отсюда G , получим
Работа L , затрачиваемая на подъем груза, будет равна произведению силы G на длину пути H
Закон Архимеда
Закон Архимеда формулируется в виде следующего утверждения - на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Эта сила называется поддерживающей. Она является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в нем тело.
Для доказательства закона выделим в теле элементарную вертикальную призму с основаниями d w n1 и d w n2 (рис. 3.23). Вертикальная проекция элементарной силы, действующей на верхнее основание призмы, будет
где p 1 - давление на основании призмы d w n1 ; n 1 - нормаль к поверхности d w n1 .
где d w z - площадь призмы в сечении, перпендикулярном оси z , то
Отсюда, учитывая, что по формуле гидростатического давления , получим
Аналогично вертикальная проекция элементарной силы, действующей на нижнее основание призмы, находится по формуле
Суммарная вертикальная элементарная сила, действующая на призму, будет
Интегрируя это выражение при , получим
Где - объем тела, погруженного в жидкость, где h T это высота погруженной части тела на данной вертикали.
Отсюда для выталкивающей силы F z получим формулу
Выделяя в теле элементарные горизонтальные призмы и производя аналогичные выкладки, получим , .
где G - вес жидкости, вытесненной телом. Таким образом, выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу жидкости, вытесненной телом, что и требовалось доказать.
Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном счете действуют две силы (рис. 3.24).
1. Сила тяжести - вес тела .
2. Поддерживающая (выталкивающая) сила , где g 1 - удельный вес тела; g 2 - удельный вес жидкости.
При этом могут иметь место следующие основные случаи:
1. Удельный вес тела и жидкости одинаковы . В этом случае , равнодействующая , и тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, т.е. будучи погружено на любую глубину, оно не будет ни всплывать, ни тонуть.
2. При g 1 > g 2 , . Равнодействующая направлена вниз, и тело будет тонуть.
3. При g 1 < g 2 . Равнодействующая направлена вверх, и тело будет всплывать. Всплытие тела будет продолжаться до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится настолько, что сделается равной силе веса, т.е. пока не будет . После этого тело будет плавать на поверхности.
§ 3.19. Условия плавучести и остойчивости тел,
частично погруженных в жидкость
Наличие условия необходимо для равновесия тела, погруженного в жидкость, но еще недостаточно. Для равновесия тела, кроме равенства , необходимо также, чтобы линии этих сил были направлены по одной прямой, т.е. совпадали (рис. 3.25 а).
Если тело однородно, то точки приложения указанных сил всегда совпадают и направлены по одной прямой. Если тело неоднородно, то точки приложения этих сил не совпадут и силы G и F z образуют пару сил (см. рис. 3.25 б, в). Под действием этой пары сил тело будет вращаться в жидкости до тех пор, пока точки приложения сил G и F z не окажутся на одной вертикали, т.е. момент пары сил будет равен нулю (рис.3.26).
Наибольший практический интерес представляет исследование условий равновесия тел, частично погруженных в жидкость, т.е. при плавании тел.
Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется остойчивостью.
Рассмотрим условия, при которых плавающее на поверхности жидкости тело остойчиво.
На рис. 3.27 (а, б) C
- центр тяжести (точка приложения равнодействующей сил веса G)
;
D
- точка приложения равнодействующей выталкивающих сил F
z ; M
- метацентр (точка пересечения равнодействующей выталкивающих сил с осью плавания 00).
Дадим некоторые определения.
Вес жидкости, вытесненной погруженным в нее телом, называется водоизмещением.
Точка приложения равнодействующей выталкивающих сил называется центром водоизмещения (точка D ).
Расстояние MC между метацентром и центром водоизмещения называется метацентрическим радиусом.
Таким образом, плавающее тело имеет три характерные точки:
1. Центр тяжести C , не меняющий своего положения при крене.
2. Центр водоизмещения D , перемещающийся при крене тела, так как очертания объема, вытесняемого в жидкости, при этом меняются.
3. Метацентр M , также изменяющий свое положение при крене.
При плавании тела могут представиться следующие 3 основных случая в зависимости от относительного расположения центра тяжести C и метацентра M .
1. Случай остойчивого равновесия. В этом случае метацентр лежит выше центра тяжести (рис.3.27,а) и при крене пара сил G и F z стремится возвратить тело в первоначальное состояние (тело вращается против часовой стрелки).
2. Случай безразличного равновесия. В этом случае метацентр и центр тяжести совпадают и тело, выведенное из состояния равновесия, остается неподвижным.
3. Случай неостойчивого равновесия. Здесь метацентр лежит ниже центра тяжести (рис. 3.27,б) и образовавшаяся при крене пара сил вызывает вращение тела по часовой стрелке, что может привести к опрокидыванию плавающего средства.
Задача 1. Паровой прямодействующий насос подает жидкость Ж на высоту Н (рис. 3.28). Найти рабочее давление пара при следующих исходных данных: ; ; . Жидкость – вода (). Найти также силу, действующую на малый и большой поршни.
Решение. Найдем давление на малом поршне
Сила , действующая на малый поршень, будет
Эта же сила действует на большой поршень, т.е.
Задача 2. Определить силу прессования , развиваемую гидравлическим прессом, у которого диаметр большого поршня , а малого – , при следующих исходных данных (рис. 3.29):
Решение. Найдем силу , действующую на малый поршень. Для этого составим условие равновесия рычага пресса
Давление жидкости под малым поршнем будет
Давление жидкости под большим поршнем
По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Отсюда или
Гидродинамика
Раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости, называется гидродинамикой. При изучении движения жидкостей рассматриваются две основные задачи.
1. Заданы гидродинамические характеристики потока (скорость и давление); требуется определить силы, действующие на жидкость.
2. Заданы силы, действующие на жидкость; требуется определить гидродинамические характеристики потока.
Применительно к идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет те же свойства и тот же смысл, что и гидростатическое давление. При анализе движения вязкой жидкости оказывается, что
где - действительные нормальные напряжения в рассматриваемой точке, относящиеся к трем произвольно намеченным в этой точке взаимно ортогональным площадкам. Гидродинамическим давлением в точке считают величину
При этом считается, что величина p не зависит от ориентировки взаимно ортогональных площадок.
В дальнейшем будет рассматриваться задача определения скорости и давления при известных силах, действующих на жидкость. Следует отметить, что скорость и давление для разных точек жидкости будут иметь различные величины и, кроме того, для данной точки пространства они могут изменяться во времени.
Для определения составляющих скорости по координатным осям , , и давления p в гидравлике рассматриваются следующие уравнения.
1. Уравнение несжимаемости и неразрывности движущейся жидкости (уравнение баланса расхода жидкости).
2. Дифференциальные уравнения движения (уравнения Эйлера).
3. Уравнение баланса удельной энергии потока (уравнение Бернулли).
Ниже будут приведены все эти уравнения, составляющие теоретическую базу гидродинамики, с предварительными пояснениями некоторых исходных положений из области кинематики жидкости.
§ 4.1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ДВА МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый метод, развитый Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц.
Второй метод, развитый Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость.
В гидродинамике применяются оба эти метода. Однако более распространен метод Эйлера, благодаря его простоте. По методу Лагранжа в начальный момент времени t 0 отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени t 0 определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т.е. тремя уравнениями
где х , у , z - координаты частицы; t - время.
Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т.е. начальные координаты частиц.
Например, точка М (рис. 4.1) в момент времени t = 0 имеет координаты а , b , с . Соотношения (4.1) с учетом а , b , с примут вид
В соотношениях (4.2) начальные координаты а , b , с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты x , y , z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а , b , с, t , которые называются переменными Лагранжа.
При известных соотношениях (4.2) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени)
Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (соотношения 4.5).
Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (4.1) путем нахождения координат x , y , z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени.
По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит: а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства; б) в исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой.
Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины.
Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями
т.е. скорость
является функцией координат и времени.
Переменные x , y , z , t называются переменными Эйлера.
Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т.е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (4.4).
Метод Эйлера и метод Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt , в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (4.3).
Из (4.2) следует, что координаты x , y , z являются функциями времени. Тогда будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь
где – проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси.
Так как для движущейся частицы
Частные производные
называются проекциями локального (местного) ускорения.
Суммы вида
называется проекциями конвективного ускорения.
Полные производные
называются еще субстанциональными или индивидуальными производными.
Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую.
§ 4.2. Траектории частиц и линии тока
Траекторией движущейся частицы жидкости называется путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Изучение траекторий частиц лежит в основе метода Лагранжа. При исследовании движения жидкости по методу Эйлера общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока (рис. 4.2, 4.3). Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии.
| Рис.4.2. | Рис.4.3. |
При установившемся движении (см. §4.3), когда уровень жидкости в емкости не изменяется (см. рис. 4.2), траектории частиц и линии тока совпадают. В случае неустановившегося движения (см. рис. 4.3) траектории частиц и линии тока не совпадают.
Следует подчеркнуть разницу между траекторией частицы и линией тока. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение
(в данный момент времени).
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
Понятие установившегося движения вводится только при исследовании движения жидкости в переменных Эйлера.
Установившимся называется движение жидкости, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства не меняются во времени (см. рис. 4.2). Например, для составляющих скорости будем иметь
Так как величина и направление скорости движения в любой точке пространства при установившемся движении не меняются, то и линии тока не будут меняться во времени. Отсюда следует (как уже было отмечено в § 4.2), что при установившемся движении траектории частиц и линии тока совпадают.
Движение, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства меняются во времени, называется неустановившимся ( , рис. 4.3).
§ 4.4. СТРУЙЧАТАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ.
ТРУБКА ТОКА. РАСХОД ЖИДКОСТИ
Рассмотрим линию тока 1-2 (рис. 4.4). Проведем в точке 1 плоскость, перпендикулярную к вектору скорости u 1 . Возьмем в этой плоскости элементарный замкнутый контур l , охватывающий площадку d w. Через все точки этого контура проведем линии тока. Совокупность линий тока, проведенных через какой-либо контур в жидкости, образуют поверхность, называемую трубкой тока.
| Рис. 4.4 | Рис. 4.5 |
Совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки d w, составляет элементарную струйку. В гидравлике применяется так называемая струйчатая модель движения жидкости. Поток жидкости рассматривается как состоящий из отдельных элементарных струек.
Рассмотрим поток жидкости, изображенный на рис.4.5. Объемным расходом жидкости через какую-либо поверхность называется объем жидкости, протекающий в единицу времени через данную поверхность.
Очевидно, элементарный расход будет
где n - направление нормали к поверхности.
Полный расход
Если провести через любую точку потока ортогональную линиям тока поверхность А, то . Поверхность, являющаяся геометрическим местом частиц жидкости, скорости которых перпендикулярны к соответствующим элементам этой поверхности, называется живым сечением потока и обозначается w.Тогда для элементарной струйки будем иметь
и для потока
Это выражение называют объемным расходом жидкости через живое сечение потока.
Примеры .
Средняя скорость в сечении потока - это такая, одинаковая для всех точек сечения скорость, при которой происходит тот же расход, какой фактически имеет место при действительных скоростях, различных для разных точек сечения. Например, в круглой трубе распределение скоростей при ламинарном течении жидкости представлено на рис. 4.9. Здесь - действительный профиль скорости при ламинарном течении.
Средняя скорость равна половине максимальной скорости (см. § 6.5)
§ 4.6. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА
В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Уравнение неразрывности (сплошности) выражает закон сохранения массы и неразрывность течения. Для вывода уравнения выделим в массе жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx , dz , dz (рис. 4.10).
Пусть точка m с координатами x , y , z находится в центре этого параллелепипеда. Плотность жидкости в точке m будет .
Подсчитаем массу жидкости, втекающей в параллелепипед и вытекающей из него через противоположные грани за время dt . Масса жидкости, втекающей через левую грань за время dt в направлении оси x , равна
где r 1 и (u x) 1 - плотность и проекция скорости на ось x в точке 1.
Функция является непрерывной функцией координаты x . Разлагая эту функцию в окрестности точки m в ряд Тэйлора с точностью до бесконечно малых первого порядка, для точек 1 и 2 на гранях параллелепипеда получим следующие ее значения
т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений потока (рис. 4.11). Объемный расход Q несжимаемой жидкости остается постоянным вдоль канала.
§ 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
(НЕВЯЗКОЙ) ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)
Невязкой или идеальной жидкостью называется жидкость, частицы которой обладают абсолютной подвижностью. Такая жидкость неспособна сопротивляться сдвигающим усилиям и поэтому касательные напряжения в ней будут отсутствовать. Из поверхностных сил в ней будут действовать только нормальные усилия.
в движущейся жидкости называется гидродинамическим давлением. Гидродинамическое давление обладает следующими свойствами.
1. Оно действует всегда по внутренней нормали (сжимающее усилие).
2. Величина гидродинамического давления не зависит от ориентировки площадки (что доказывается аналогично второму свойству гидростатического давления).
На основании этих свойств можно считать, что . Таким образом, свойства гидродинамического давления в невязкой жидкости идентичны свойствам гидростатического давления. Однако величина гидродинамического давления определяется по уравнениям, отличным от уравнений гидростатики.
Для вывода уравнений движения жидкости выделим элементарный параллелепипед в массе жидкости с ребрами dx , dy , dz (рис. 4.12). Пусть точка m с координатами x,y,z находится в центре этого параллелепипеда. Давление в точке m будет . Компоненты массовых сил, отнесенных к единице массы, пусть будут X ,Y ,Z.
Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось x
, (4.9)
где F 1 и F 2 – силы гидростатического давления; F m – равнодействующая массовых сил тяжести; F и – равнодействующая сил инерции.
Распределённую нагрузку, действующую на наклонную стенку, заменим сконцентрированной. Для этого найдём на наклонной стенке положение точки D , в которой приложена равнодействующая силы давления. Точку, в которой приложена эта сила, называют центром давления . Как уже неоднократно рассматривалось, давление, действующее в любой точке, в соответствии с основным уравнением гидростатики складывается из двух частей: внешнего давления P0 , передающегося всем точкам жидкости одинаково, и давления столба жидкости P , определяемого глубиной погружения этой точки.
Для нахождения центра избыточного давления жидкости применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы относительно оси 0X
равен сумме моментов составляющих сил, т.е.
где YD - координата точки приложения силы Fизб ,
Y – текущая глубина.
Заменив в этом выражении Fизб и YD интегралом, в соответствии с упомянутым уравнением механики, будем иметь:
Отсюда выразим YD
при этом 
Интеграл в числителе дроби является статическим моментом инерции площади S относительно оси 0X и обычно обозначается Jx
Из теоретической механики известно, что статический момент площади относительно оси вращения равен сумме собственного момента инерции (момента инерции этой площади относительно оси проходящей через её центр тяжести и параллельной первой оси) и произведению этой площади на квадрат расстояния от оси вращения до центра её тяжести
.
С учётом последнего определения YD окончательно можно выразить в виде:
.
Таким образом, разница в положениях Y (глубинах) центра тяжести площадки (т. C ) и центра давления (т. D ) составляет
В итоге можно сделать следующие выводы. Если внешнее давление действует на стенку с обеих сторон, то найденная точка D будет являться центром давления. Если внешнее давление со стороны жидкости выше давления с противоположной стороны (например, атмосферного), то центр давления находится по правилам механики как точка приложения равнодействующей двух сил: силы, создаваемой внешним давлением, и силы, создаваемой весом жидкости. При этом, чем больше внешнее давление, тем ближе располагается центр давления к центру тяжести.
В гидроприводе технологического оборудования внешние давления в десятки и сотни раз превышают давления, вызванные высотой столба жидкости. Поэтому в расчётах гидравлических машин и аппаратов положение центров давления принимаются совпадающими с центрами тяжести.
Графическим изображением изменения гидростатического давления вдоль плоской стенки служат эпюры давления (рис.). Площадь эпюры выражает силу давления, а центр тяжести эпюры - это точка, через которую проходит равнодействующая сила давления.
При построении эпюр учитывают, что давление направлено нормально к стенке, а уравнение Р = Ро + yh, характеризующее распределение гидростатического давления по глубине, является уравнением прямой.
Чтобы построить эпюры давления на вертикальную стенку, откладывают в выбранном масштабе давление по горизонтальному направлению, совпадающему с направлением сил давления (на поверхности жидкости и у дна), соединив концы этих отрезков прямой линией.
Рис. Примеры построения эпюр давления на стенку:
Эпюра абсолютного гидростатического давления представляет собой трапецию, а эпюра избыточного - треугольник (рис. а).
Если плоская стенка, на которую действует жидкость, наклонена к горизонту под углом a (рис. б), то основное уравнение гидростатики принимает следующий вид:
Таким образом, эпюры абсолютного и избыточного гидростатического давления на наклонную стенку представляют собой соответственно наклонную трапецию и наклонный треугольник.
Если плоская стенка, на которую с двух сторон оказывает воздействие жидкость, вертикальна, то на нее будут действовать параллельные и противоположно направленные силы гидростатического давления. Эпюра гидростатического давления на вертикальную стенку представляет собой вертикальную трапецию.
Эпюра гидростатического давления на горизонтальное дно резервуара представляет собой прямоугольник, так как при постоянной глубине избыточное давление на дно постоянно.
Закон сообщающихся сосудов - один из законов гидростатики, гласящий, что в сообщающихся сосудах уровни однородных жидкостей, считая от наиболее близкой к поверхности земли точки, равны.
Задача определения результирующей силы гидростатического давления на плоскую фигуру сводится к нахождению величины этой силы и точки ее приложения или центра давления. Представим резервуар, наполненный жидкостью и имеющий наклонную плоскую стенку (рис. 1.12).
На стенке резервуара наметим некоторую плоскую фигуру любого очертания площадью w. Координатные оси выберем так, как указано на чертеже. Ось z перпендикулярна к плоскости чертежа. В плоскости уz расположена рассматриваемая фигура, которая проектируется в виде прямой, обозначенной жирной линией, справа показана эта фигура в совмещении с плоскостью уz .
В соответствии с 1-м свойством гидростатического давления можно утверждать, что во всех точках площади w давление жидкости направлено нормально к стенке. Отсюда заключаем, что сила гидростатического давления, действующая на произвольную плоскую фигуру, также направлена нормально к ее поверхности.
Рис. 1.12. Давление жидкости на плоскую стенку
Для определения силы давления выделим элементарную (бесконечно малую) площадку d w. Силу давления dP на элементарную площадку определим так:
dP = pd w = (p 0 + rgh )d w,
где h - глубина погружения площадки d w.
Так как h = y sina, то dP =pd w = (p 0 + rgy sina)d w.
Сила давления на всю площадку w:
Первый интеграл представляет собой площадь фигуры w:
Второй интеграл представляет собой статический момент площадки w относительно оси х . Как известно, статический момент фигуры относительно оси х равен произведению площади фигуры w на расстояние от оси х до центра тяжести фигуры, т.е.
.
Подставляя в уравнение (1.44) значения интегралов, получаем
P = p o w + rg sinay ц. т w.
Но так как y ц.т sina = h ц.т - глубина погружения центра тяжести фигуры, то:
P = (p 0 + rgh ц.т)w. (1.45)
Выражение, заключенное в скобки, представляет собой давление в центре тяжести фигуры:
p 0 + rgh ц.т = p ц.т.
Следовательно, уравнение (1.45) можно записать в виде
P = p ц.т w. (1.46)
Таким образом, сила гидростатического давления на плоскую фигуру равна гидростатическому давлению в центре тяжести ее, умноженному на величину площади этой фигуры. Определим центр давления, т.е. точку приложения силы давления Р . Так как поверхностное давление , передаваясь через жидкость, равномерно распределяется по рассматриваемой площади, то точка приложения силы w будет совпадать с центром тяжести фигуры. Если над свободной поверхностью жидкости давление атмосферное (p 0 = p атм), то его учитывать не надо.
Давление, обусловленное весом жидкости, неравномерно распределяется по площади фигуры: чем глубже расположена точка фигуры, тем большее давление она испытывает. Поэтому точка приложения силы
P =
rgh
ц.т wбудет лежать ниже центра тяжести фигуры. Координату этой точки обозначим y
ц.д. Для ее нахождения воспользуемся известным положением теоретической механики: сумма моментов составляющих элементарных сил относительно оси х
равна моменту равнодействующей силы Р
относительно той же оси х
, т.e.
,
так как dP = rghd w = rgy sinad w, то
. (1.47)
Здесь значение интеграла представляет собой момент инерции фигуры относительно оси х :
а сила .
Подставляя эти соотношения в уравнение (1.47), получаем
y ц.д = J x / y ц.т w. (1.48)
Формулу (1.48) можно преобразовать, воспользовавшись тем, что момент инерции J x относительно произвольной оси х равен
J x = J 0 + y 2 ц.т w, (1.49)
где J 0 - момент инерции площади фигуры относительно оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной оси х ; y ц.т - координата центра тяжести фигуры (т.е. расстояние между осями).
С учетом формулы (1.49) получим: 
. (1.50)
Уравнение (1.50) показывает, что центр давления, обусловленный весовым давлением жидкости, всегда расположен ниже центра тяжести рассматриваемой фигуры на величину и погружен на глубину
, (1.51)
где h ц.д = y ц.д sina - глубина погружения центра давления.
Мы ограничились определением только одной координаты центра давления. Этого достаточно, если фигура обладает симметрией относительно оси у , проходящей через центр тяжести. В общем случае надо определять и вторую координату. Методика ее определения такая же, как и в рассмотренном выше случае.
h c = h d , (4.7)
где h c – расстояние от свободной поверхности жидкости до центра тяжести, м ;
h d – расстояние от свободной поверхности жидкости до центра давления, м .
В случае если на свободную поверхность жидкости также действует какое-то давление р , то сила полного избыточного давления на плоскую стенку равна:
Р = (р + ρ ·g ·h ) F , (4.8)
Где р – давление, действующее на свободную поверхность жидкости, Па .
C вопросом определения силы дав-ления жидкости на плоские стенки приходиться часто сталкиваться при расче-тах на прочность различных резервуаров, труб и других гидротехнических соору-жений.
Давление жидкости на цилиндрическую поверхность.
Горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность см. рис. 4.5 равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию этой поверхности и определяется по формуле:
Р х = ρ ·g ·h c ·F y , (4.9)
где Р х – горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность, Н ;
F y – вертикальная проекция поверхности, м 2 .
Вертикальная составляющая силы давления равна силе тяжести жидкости в объеме тела давления и определяется по формуле:
Р у = ρ ·g ·V , (4.10)
где Р у – вертикальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность, Н ;
V – полный объем, полученный в результате суммирования элементарных объемов ΔV , м 3 .
Объем V называется телом давления и представляет собой объем жидкости, ограниченный сверху уровнем свободной поверхности жидкости, снизу – рассматриваемой криволинейной поверхностью стенки, смоченной жидкостью, и с боков – вертикальными поверхностями, проведенными через границы стенки.
Полная сила давления жидкости определяется как равнодействующая сила Р х и Р у по формуле:
Р = √P x 2 +P y 2 , (4.11)
где Р – полная сила давления жидкости на цилиндрическую поверхность, Н .
Угол β , составленный равнодействующей с горизонтом, определяется из условия по формуле:
tg β = Р у / Р х, (4.12)
где β – угол, составленный равнодействующей с горизонтом, град .
Давление жидкости на стенки труб.
Определим силу давления Р жидкости на стенку круглой трубы длинной l с внутренним диаметром d .
Пренебрегая массой жидкости в трубе, составим уравнение равновесия:
p ·l ·d = P x = P y = P , (4.13)
где l ·d – площадь диаметрального сечения трубы, м 2 ;
P – искомая сила давления жидкости на стенку трубы, Н .
Необходимая толщина стенок трубы определяется по формуле:
δ = p ·d / (2σ ), (4.14)
где σ – допускаемое напряжение материала стенок на разрыв, Па .
Полученный по формуле (4.14 ) результат обычно увеличивают на величину α
δ = p ·d / (2σ ) + α , (4.15)
где α – коэффициент запаса, учитывающий возможную коррозию, неточность отлива и т.п.
α = 3…7.
Порядок проведения работы
5.2. Ознакомиться с приборами для измерения давления.
5.3. Преобразовать размерности давления различных технических систем в размерность давления международной системы СИ – Па :
740 мм рт. ст.;
2300 мм вод. ст.;
1,3 ат;
2,4 бар;
0,6 кг/см 2 ;
2500 Н/см 2 .
5.4. Решить задачи:
5.4.1. Прямоугольный открытый резервуар предназначен для хранения воды. Определить силы давления на стенки и дно резервуара, если ширина a , длина b , объем V . Данные взять из табл. 5.1 (нечетные варианты ).
Таблица 5.1
Данные к нечетным вариантам (п. 5.4.1.)
| Параметры | В а р и а н т | ||||||||
| V, м 3 | |||||||||
| a, м | |||||||||
| b, м | |||||||||
| Параметры | В а р и а н т | ||||||||
| V, м 3 | |||||||||
| a, м | |||||||||
| b, м |
5.4.2. Определить силы давления жидкости на дно и боковую поверхность цилиндра, расположенного вертикально, в котором храниться вода, если диаметр цилиндра соответствует числу букв в имени (паспорт) в м, а высота цилиндра – число букв в фамилии в м (четные варианты ).
5.5. Сделать вывод.
6.1. Начертить схемы приборов для измерения давления: рис. 4.1 жидкостные барометры (Вар. 1…6; 19…24 ), рис. 4.2 манометры и вакуумметры (Вар. 7…12; 25…30 ) и рис. 4.3 дифманометры (Вар. 13…18; 31…36 ). Нанести позиции и привести спецификацию. Привести краткое описание схемы.
6.2. Записать преобразование размерностей давления различных технических систем в размерность давления международной системы СИ – Па (п. 5.3.) .
6.3. Решить одну задачу, приведенную в п.п. 5.4.1 и 5.4.2 , согласно выбранного варианта, численно соответствующего порядковому номеру студента по журналу на странице ПАПП.
6.4. Записать вывод о проделанной практической работе.
7 Контрольные вопросы
7.1. В каких единицах измеряется давление?
7.2. Что такое абсолютное и избыточное давление?
7.3. Что такое вакуум, как определить абсолютное давление при вакууме?
7.4. Какими приборами измеряются избыточное давление и вакуум?
7.5. Как формулируется закон Паскаля? Как определяется усилие прессования гидравлического пресса?
7.6. Как определяется сила давления жидкости на вертикальные, горизонтальные и наклонные плоские стенки? Как направлена эта сила? Где находиться точка ее приложения?
Практическое занятие № 5
Изучение устройства отстойника, расчет его
производительности и площади осаждения
Цель работы
1.1. Изучение устройства различных отстойников.
1.2. Привитие навыков определения производительности и площади осаждения отстойника.
