Площадь треугольника. Площадь треугольника Площадь равностороннего треугольника формула герона
Герона формула Геро́на фо́рмула
выражает площадь s треугольника через длины трёх его сторон а , b и с и полупериметр р = (а + b + с )/2: . Названа по имени Герона Александрийского.
ГЕРОНА ФОРМУЛАГЕРО́НА ФО́РМУЛА, выражает площадь S
треугольника через длины трех его сторон a
, b
и c
и полупериметр P
= (a
+ b
+ c
)/2
Названа по имени Герона Александрийского.
Энциклопедический словарь . 2009 .
Смотреть что такое "Герона формула" в других словарях:
Выражает площадь S треугольника через длины трех его сторон a, b и c и полупериметр P = (a + b + c)/2Названа по имени Герона Александрийского … Большой Энциклопедический словарь
Формула выражающая площадь треугольника через три его стороны. Именно, если а, b, с длины сторон треугольника, a S его площадь, то Г. ф. имеет вид: где через р обозначен полупериметр треугольника Г. ф.… …
Формула, выражающая площадь треугольника через его стороны a, b, с: где Названа по имени Герона (ок. 1 в. Н. Э.), А. Б. Иванов … Математическая энциклопедия
Выражает площадь 5 треугольника через длины трёх его сторон а, b и с и полупериметр р = (а + b + с)/2: s = кв. корень p(p a)(p b)(p c). Названа по имени Герона Александрийского … Естествознание. Энциклопедический словарь
- … Википедия
Позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c: где p полупериметр треугольника: . Доказательство, где угол треугольн … Википедия
Выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон и полупериметр, то его площадь равна … Википедия
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия
- (Heronus Alexandrinus)(гг. рождения и смерти неизвестны, вероятно, 1 в.), древнегреческий учёный, работавший в Александрии. Автор работ, в которых систематически изложил основные достижения античного мира в области прикладной механики, В… … Большая советская энциклопедия
Александрийский (Heronus Alexandrinus)(гг. рождения и смерти неизвестны, вероятно, 1 в.), древнегреческий учёный, работавший в Александрии. Автор работ, в которых систематически изложил основные достижения античного мира в области… … Большая советская энциклопедия
Предварительные сведения
Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.
Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(рис. 1).
Рисунок 1.
Введем без доказательств теорему о площади треугольника.
Теорема 1
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
Формула Герона
Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.
Теорема 2
Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
где $p$ - полупериметр данного треугольника.
Доказательство.
Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.
Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим
Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$
Рассмотрим треугольник $\ CBH$. По теореме Пифагора, получим
\ \ \
Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений
\ \ \
Из первого равенства найдем высоту
\ \ \ \ \ \
Так как полупериметр равен $p=\frac{a+b+c}{2}$, то есть $a+b+c=2p$, то
\ \ \ \
По теореме 1, получим
Теорема доказана.
Примеры задач на использование формулы Герона
Пример 1
Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.
Решение.
Найдем вначале полупериметр этого треугольника
По теореме 2, получим
Ответ: $4\sqrt{5}$.
Можно найти, зная основание и высоту . Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a 1 и a 2 , а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника , площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:
Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника :
Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.
Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.
Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.
Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению
Теорема . Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:
Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC . Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC , т. е.
Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1.16):
И, следовательно,
Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции. А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.
Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.
Следствие 1 . Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.
На рис. 1.17 треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а , которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ , а поэтому площади этих треугольников равны.
Следствие 1 можно переформулировать следующим образом.
Следствие 1? . Пусть дан отрезок АВ . Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S , есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии (рис. 1. 18)
Следствие 2 . Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.
На рис. 1.19 треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH , поэтому отношение их площадей равно отношению оснований
Из следствия 2 следуют важные частные случаи:
1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.
2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b , делит его на два треугольника, площади которых относятся как a : b .
Следствие 3 . Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
Это следует из того, что (рис. 1.19)
В частности, имеет место следующее утверждение:
Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k 2 раз больше площади второго.
Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:
где a, b, c - длины сторон треугольника, г - угол, противолежащий стороне с.
Из (1.3) находим.
Замечая, что
где - полупериметр треугольника, получаем.
