Случайная величина х называется непрерывной если. Непрерывные случайные величины
Глава 6. Непрерывные случайные величины.
§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.
Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.
Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла
Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .
Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :
1..gif" width="97" height="51">
3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .
4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :
5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:
График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.
Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:
Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .
Решение. Константа C находится из условия Имеем:
откуда C=3/8.
Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">
так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае
Наконец, в последнем случае, когда x>2,
Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения
Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,
§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.
Дисперсия
x может быть вычислена по формуле 
, а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.
Задача 2 . Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
И значит,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
График плотности равномерного распределения см. на рис. .
Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона
Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна
Fx(x)= 
Математическое ожидание и дисперсия ; .
Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна
рx(x)=
Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.
Функция распределения показательного распределения имеет вид
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , если ее плотность распределения равна
.
Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .
Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна
.
Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона
Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным , и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
а функция распределения
Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа
,
следующим соотношением 
. В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:
.
Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле
.
Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=.
Задача 3. Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Решение. Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Распределение Лапласа задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3.
Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.
Случайная величина x распределена по закону Вейбулла , если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.
Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. .
В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями
Fx(x)=P(x
Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины .
Решение. Из условия задачи следует, что
Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию 
, производная которой равна Следовательно,
§ 5. Пара непрерывных случайных величин
Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.
Совместной функцией распределения
случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью
распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что 
.
Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">
Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A . Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:
Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.
Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна
Событие соответствует множеству 
на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность
На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому
Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что
Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h?
Решение . Вычислим частные плотности и . Имеем:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .
Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:
.
Представив треугольник в виде
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин
Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы .
Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны
Следовательно,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Таким образом, мы получили ответ:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения
.
Найти функцию распределения и плотность распределения величин:
а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }
Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин
x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.
Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.
Вычислительные задачи.
Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке . 
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид: 
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения
Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна
.
Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность
Р (0,25 Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности р(х) = Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача. Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = . Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения F(x) = P(x Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью Непрерывные случайные величины -
это величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал. Интегральная функция распределения есть закон распределения случайной величины, с помощью которого можно задавать как дискретную, так и непрерывную случайную величину. Интегральной функцией распределения
называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее х, т.е. . Геометрически это означает: F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Случайная величина
называется непрерывной, если ее интегральная функция F(X) непрерывно дифференцируема. Свойства интегральной функции.
1 0 . Значения интегральной функции принадлежат отрезку от 0 до1, то есть . 2 0 . Интегральная функция есть функция неубывающая, то есть, если , то Следствия: 1. Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале (а;в) равна приращению интегральной функции на этом интервале: 2. Вероятность того, что НСВ примет одно конкретное значение равна 0. 3. Если возможные значения НСВ расположены на всей числовой прямой, то справедливы следующие предельные отношения: График интегральной функции.
График интегральной функции строят, исходя из ее свойств. По первому свойству , график расположен между прямыми y=0 и y=1. из второго свойства следует, что - функция возрастающая, а значит ее график на промежутке (а,в) поднимается вправо и вверх. По 3 0 свойству при Рисунок 5. График интегральной функции. Пример 31.
ДСВ задана законом распределения Найти интегральную функцию распределения и построить ее график. 1. Если , то по 3 0 . 2. Если , . 3. Если , . 4. Если , то по 3 0 . Построим график интегральной функции ДСВ(Ч) (рис.6). Рисунок 6. График интегральной функции для дискретной случайной величины. Дифференциальная функция распределения НСВ.
Существует еще один способ задания НСВ, используя дифференциальную функцию распределения. Дифференциальной
функцией распределения называется функция равная первой производной интегральной функции, то есть . Дифференциальную функцию распределения по-другому называют плотностью распределения вероятностей. Теорема 17.
Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее промежутку (а,в), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от а до в. Пример 32.
НСВ задана интегральной функцией распределения Найти дифференциальную функцию распределения и вероятность попадания НСВ в промежуток . Решение.
Свойства дифференциальной функции распределения.
1 0 . Дифференциальная функция есть функция неотрицательная: . 2 0 . (Условие нормировки.) Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1, то есть: В частности, если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу (а, в), то Пример 33.
Найти значение параметра а.
Заметим, что зная дифференциальную функцию распределения, можно найти интегральную функцию по формуле: Пример 34.
НСВ задана дифференциальной функцией распределения: найти интегральную функцию распределения. Решение.
1. 3. Числовые характеристики НСВ.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пример 2.1.
Случайная величина X
задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате испытания X
примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6). Решение:
Х
в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами: Пример 2.2.
При каких значениях параметров А
и В
функция F
(x
) = A + Be - x
может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х
. Решение:
Так как все возможные значения случайной величины Х
принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х
, должно выполняться свойство: Ответ: Пример 2.3.
Случайная величина X задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X
ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75). Решение:
Вероятность попадания величины Х
в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле: Пример 2.4.
Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках. Решение:
Случайная величина Х
– число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х
Х
: Пример 2.5.
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Решение:
Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х
– числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи. Составим закон распределения вероятностей СВ Х
: Пример 2.6.
Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F
1 (t
) =1-e -
0,1 t
, для второго: F
2 (t
) = 1-e -
0,2 t
, для третьего: F
3 (t
) =1-e -
0,3 t
. Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента. Решение:
Воспользуемся определением производящей функции вероятностей : Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А
равна , во втором и т. д., событие А
появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов: Составим производящую функцию: Коэффициент при равен вероятности того, что событие А
появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент. Пример 2.7.
Дана плотность вероятности f
(x
)случайной величины X
: Найти функцию распределения F(x).
Решение:
Используем формулу: Таким образом, функция распределения имеет вид: Пример 2.8.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Решение:
Случайная величина Х
– число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле Бернулли: Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х
: Пример 2.9.
В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Решение:
Случайная величина Х
– число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х
где --
число деталей в партии; --
число стандартных деталей в партии; –
число отобранных деталей; --
число стандартных деталей среди отобранных. Пример 2.10.
Случайная величина имеет плотность распределения причем и не известны, но , а и . Найдите и . Решение:
В данном случае случайная величина X
имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b
]. Числовые характеристики X
: Следовательно, Ответ: Пример 2.11.
В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Решение:
Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам: Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4. Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы: Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид: Ответ: , . Пример 2.12.
Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых. Решение:
В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х
может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле: где --
число роз; --
число белых роз; –
число одновременно взятых роз; --
число белых роз среди взятых. Тогда закон распределения случайной величины будет такой: Пример 2.13.
Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа. Решение:
Случайная величина Х
– число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле: где --
число собранных агрегатов; --
число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке; –
число выбранных агрегатов; --
число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных. Тогда закон распределения случайной величины будет такой: Пример 2.14.
Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов. Решение:
Случайная величина Х
– число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле: Тогда закон распределения случайной величины будет такой: Теперь вычислим числовые характеристики величины : Ответ: , . Пример 2.15.
Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Решение:
Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны . Составим ряд распределения случайной величины: Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера: Ответ: , . Пример 2.16.
Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p
. Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N
приборов. Решение:
Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p,
распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: Пример 2.17.
Дискретная случайная величина X
принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X
) = 8. Решение:
Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины: Находим: . Пример 2.18.
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X
– числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий. Решение:
В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле: где - число партий; Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия. Вероятность найдем по формуле Бернулли: Ответ: Пример 2.19.
Найти дисперсию случайной величины X
– числа появлений события A
в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M
(X
) = 0,9. Решение:
Задачу можно решить двумя способами. 1) Возможные значения СВ X
: 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий: ,
Тогда закон распределения X
имеет вид: Из определения математического ожидания определим вероятность : Найдем дисперсию СВ X
: 2) Можно использовать формулу: Ответ: Пример 2.20.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X
соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X
примет значение, заключенное в интервале (15; 25). Решение:
Вероятность попадания нормальной случайной величины Х
на участок от до выражается через функцию Лапласа: Пример 2.21.
Дана функция: При каком значении параметра C
эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X
? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X
. Решение:
Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству: Следовательно: Вычислим математическое ожидание по формуле: Вычислим дисперсию по формуле: T
равна p
. Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение:
Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании: Пример 2.25.
Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах. Решение:
Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: Пример 2.26.
Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент. Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: Пример 2.29.
Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд. Решение:
В этом примере математическое ожидание Тогда искомая вероятность: Пример 2.30.
Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда? Решение:
Пример 2.31.
Тогда согласно классическому определению вероятности: где --
число деталей в партии; --
число нестандартных деталей в партии; –
число отобранных деталей; --
число нестандартных деталей среди отобранных. Тогда закон распределения случайной величины будет такой. Задание 2
. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией. Задание 3
. Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения. Задание 4
. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом:
f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Задача
. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x). Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
Пример №1
. Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется: Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x): Дисперсия
непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса
. Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения
f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x)
. Инструкция
. Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x): Задана функция распределения F(x): Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
.
. Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р
, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность
. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна 
.
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти
.
и 
, а при 
(рис.5).
0,2
0,5
0,3
.
.
.
.
.
.
.
. Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: 
. .
.
.
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0,2
,
.
,
.
.
.
.
.
. .
. .
, а интенсивность отказов равна .
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a: 
или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3
Дисперсия
.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение
:
Найдем параметр A из условия:
или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14
Функцию распределения можно найти по формуле.
Математическое ожидание
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }
